Deducción de las fórmulas en el MRUV
Deducción de la fórmula del espacio en el MRUV
En un gráfico v=ʄ(Δt) podemos calcular el módulo del desplazamiento (espacio) realizado por el móvil, determinando el área comprendida entre la curva y el eje de los tiempos, como ya lo hicimos en el MRU.
En el gráfico anterior se debe calcular el área bajo la línea inclinada y que para facilitar el cálculo se lo ha dividido en Δx₂ (triángulo), Δx₁ (rectángulo), por lo que el área total será Δx=Δx₁+Δx₂ donde Δx₁=base x altura (rectángulo).
Δx₁=Vₒ*Δt con Δt=t₁ – tₒ queda finalmente Δx₁= Vₒ*t₁
además: Δx₂= 1/2 base * altura (triángulo)
Δx₂= 1/2 Δt * Δv
Si reemplazamos: Δv= V₁ – Vₒ, Δt= t₁ – tₒ y V₁= at₁ – Vₒ
obtenemos por proceso algebraico:
Δx₂=1/2 (t₁ – tₒ) (V₁ – Vₒ)
Δx₂=1/2 (t₁) (V₁ – Vₒ)
Δx₂=1/2 (t₁) (at₁ +Vₒ – Vₒ)
Δx₂=1/2 at₁²
por loque el area total:
Gráfico Δx= ʄ(Δt)
El gráfico del espacio recorrido en función del tiempo da como resultado una parábola (semiparábola) de la forma y = mx2+b veamos con un ejemplo.
Un automóvil de carrera recibe la orden de partida, y a los 10 segundos su rapidez es de 90 km/h. Representamos gráficamente las distancias recorridas a medida que transcurre el tiempo (se supone que el movimiento es uniformemente variado).
Si aplicamos a = Δv/Δt obtenemos la aceleración producida a=(90km/h)/ 10s
a= (9hm/h) = 2.5 m/s² (acelerado)
Con este importante dato calculamos las distancias recorridas el cabo de 0, 1, 2, 3, 4,………10 segundos utilizando la ecuación Δx=Vₒt+1/2at² que acabamos de deducir, con: Vₒ=10⁻²m/s Δx=0 completamos la siguiente tabla de datos y su gráfico respectivo.
Todos los puntos están sobre una parábola que de ninguna manera debe confundírsela con la trayectoria del móvil, que ha sido una línea recta. De este gráfico podemos calcular la rapidez media con que se ha movido, por ejemplo entre el 5˚ y 6˚ segundo así:
V=Δx/Δt= x – xₒ
V= (12- 31.25)m/(6 – 5)s
V= 13.75 m/s
Si realizamos el gráfico del espacio en función del cuadrado del tiempo se obtiene como resultado una línea recta, de la cual se puede obtener suficiente información así:
Determinamos la pendiente física en el gráfico
m= Δx/Δt² = (125-0)m / (100-0)s² = 1.25m/s²
Al deducir la ley física correspondiente obtenemos a partir de la ecuación de la recta y=mx+b lo siguiente:
Δx = m*Δt²+0
Si comparamos con la ecuación Δx=1/2aΔt² determinamos precisamente que m=1/2a
Lo cual comprueba que en el MRUV el desplazamiento es función lineal con el cuadrado del tiempo.
Deducción Algebraica de la ECUACIÒN
v =vₒ + at y reemplazamos en la ecuación Δx=Vₒt+1/2at²
Se obtiene por elementales procesos algebraicos lo siguiente:
un intervalo es igual a su componente final menos su componente inicial
despejamos de la formula del desplazamiento con la formula del tiempo
destruimos los parentesis existentes
sumamos los componenetes identicos
realizamos suma de fracciones
sumamos los componentes identicos
ordenamos los resultados
Cuando la rapidez cambia Uniformemente con el tiempo, la rapidez media en cualquier intervalo de tiempo es igual a la Semisuma de las rapideces al principio y al fin del intervalo, por consiguiente, la rapidez media v entre t = 0 y t = t es:
V = (V + Vₒ)/2
Esta relación no seria cierta si la aceleración no fuera constante porque entonces la gráfica ,no sería una línea recta. Resumiendo:
Estas 4 ecuaciones representan el conjunto completo de ecuaciones escalares para el movimiento con aceleración constante.
